Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :

\(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]^2}{3}=\frac{\left(\frac{9}{3}\right)^2}{3}=3\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1

\(\dfrac{4}{3}=a+2\sqrt{\dfrac{a}{4}.b}+\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}.2b.8c}\)

\(\dfrac{4}{3}\le a+\dfrac{a}{4}+b+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{a}{2}+2b+8c\right)=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{16}{21};\dfrac{4}{21};\dfrac{1}{21}\right)\)

a+b+c=3/2 => (a+b+c)² = 9/4 <=> a²+b²+c²+2ac+2bc+2ac =9/4

mà ta có a²+b²+c²>= ac+bc+ac ( dễ dàng chứng minh được khi nhân hai lên rồi nhóm thành hằng đẳng thức hai số)

=> 3(a²+b²+c²)>= 9/4 <=> 4(a²+b²+c²⁾ >= 4

=> min M=4 dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1/2

mình nghĩ bạn Hoài có cách làm đúng nhưng kết quả sai

Mình dựa trên bài bạn thì được kết quả là Min=3 cơ

Áp dụng BĐT BCS : \(\frac{3M}{4}=\left(1^2+1^2+1^2\right).\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=\frac{9}{4}\Rightarrow M\ge3\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/2

Vậy ..................................

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau :

\(\sqrt[3]{4.\left(x^3+y^3\right)}\ge x+y\) với \(x,y>0\)

BĐT tương đương :

\(4.\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)( đúng )

Áp dụng vào bài toán có :

\(P\ge a+b+b+c+c+a=2.\left(a+b+c\right)=2.2019=4038\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)

Bất lực, tìm được mỗi max P T.T

Đề bài là GTNN :))

Do \(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)

\(\therefore P=\frac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c}\ge\frac{abc\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=abc=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1.\)

PS. Mà bài này làm gì có GTLN:v

\(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=\frac{16}{4}=4\)

P=1/a+1/b+4/c > {1+1+2}^2/a+b+c

                       =16/4=16:4=4

Ta có:

\(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\)

\(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}\)

\(P=\frac{16}{4}\)

\(P=4\)

Vậy \(P=4\)